Julius Wilhelm Richard Dedekind

Dedekind wurde am 6. Oktober 1831 in Braunschweig geboren. Sein Vater war Professor am Collegium Carolinum in Braunscheig, und seine Mutter war die Tochter eines Professors am Collegium Carolinum. Er war das jüngste von vier Kindern. Die meiste seiner Zeit lebte er mit seiner Schwester, die, wie auch er, unverheiratet blieb.
Er besuchte ab sieben die Martino-Catharineum Schule in Braunschweig, welche zu dieser Zeit eine gute Ausbildung ermöglichte. Dort interessierte sich Dedekind zuerst für Physik und Chemie, entdeckte aber bald sein Interesse für die Mathematik. Im Jahre 1848 besuchte er mit 16 das Collegium Carolinum, das ein Lehranstalt zwischen Gymnasium und Universität darstellte. Dort erwarb Dedekind sein Basiswissen über Differential- und Integralrechnung, analytische Geometrie und über die Grundlagen der Analysis. Im Frühling 1850 immatrikulierte er in Göttingen mit einen guten Grundwissen über Mathematik.
Zu dieser Zeit war Göttingen eher eine Enttäuschung für Studenten der Mathematik. Erst einige Zeit später erlangte diese Universität eine führende Rolle im Bereich der mathematischen Forschung. Das mathematische Institut von Göttingen wurden damals von M. A. Stern und G. Ulrich geleitet. Gelegentlich hielt auch Gauß einige elementare Vorlesungen ab. Im Bereich der Physik waren Johann Benedict Listing, ein Schüler von Gauß, und Wilhelm Eduard Weber tätig. Beide Institute zusammen hielten ein Seminar hauptsächlich über Zahlentheorie an dem Dedekind von Beginn an teilnahm. Im Herbst 1850 war Dedekind Zuhörer einer Vorlesung von Gauß, welche ihn sehr beeinflußte.
In den nächsten vier Semester absolvierte Dedekind sein Doktoratsstudium unter der Aufsicht von Gauß. Seine Doktorarbeit behandelte die Theorie der Eulerschen Integrale. Im Jahre 1852 erhielt er von der Universität Göttingen die Doktorwürde verliehen. Dedekind gilt als letzter Schüler von Gauß.
Zu dieser Zeit erkannte Dedekind seine mangelnde Bildung über höhere Mathematik. Kurse über den letzten Stand der Forschung wurden in Berlin gelesen, aber nicht in Göttingen. Riemann, der damals ebenfalls Göttingen studierte, war auch der Meinung, daß die mathemarische Ausbildung hauptsächlich auf Gymnasiallehrer abziehlte, und nicht das nötige Wissen für Forscher vermittelte. Aus diesem Grund verwendete Dedekind die nächsten zwei Jahre seines Lebens damit, sich die letzten mathematischen Erkenntnisse beizubringen und an seiner Habilitation zu arbeiten.
1854 habilitierten sich sowohl Dedekind als auch Riemann. Danach begann er in Göttingen Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie und Geometrie zu lesen. Die Berufung von Dirichlet als von Nachfolger nach Góttingen war für Dedekind sehr wichtig, da die Zusammenarbeit mit Dirichlet sehr erfolgreich war. Dedekind besuchte mehrere Vorlesungen von Dirichlet, etwa über Zahlentheorie, Potentialtheorie und partielle Differentialgleichungen.
1858 wurde Dedekind mit Hilfe von Dirichlet an das Polytechnikum in Zürich berufen, das heute in die ETH Zürich eingebunden ist. Während Dedekind in Zürich eine Vorlesung über Differential- und Integralrechnung hielt, kam ihm die Idee der Dedekind-Schnitte. Ein Jahr später fuhr er nach Berlin, als Riemann in die Akademie der Wissenschaften zu Berlin gewählt worden war. Dort traf er Weierstraß,Kummer
1872 veröffentlichte er in "Stetigkeit und irrationale Zahlen" seine Definition der reellen Zahlen über Dedekind-Schnitte. Als er 1874 mit Cantor zusammentraf, lernte er dessen Mengentheorie kennen, und wurde so zu einem Anhänger der Cantorschen Auffassungen. Außerdem war Dedekind der Herausgeber der gesammelten Werke von Dirichlet, Gauß und Riemann. Durch die Arbeit an den gesammelten Werken von Dirichlet motiviert, erschien 1863 die "Vorlesung über Zahlentheorie". 1879 veröffentlichte Dedekind die bedeutende Arbeit "über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen".

  Dedekind wurde mit mehreren Ehren ausgezeichnet. 1862 wurde in die Göttinger Akademie, 1880 in die Berliner Akademie und 1900 in Pariser Akademie gewählt. Am 12. Feber 1916 verstarb Dedekind in Braunschweig.

Bernhard Riemann, einer der bedeutendsten Mathematiker

Georg Friedrich Bernhard Riemann (* 17. September 1826 in Breselenz bei Dannenberg (Elbe); † 20. Juli 1866 in Selasca bei Verbania am Lago Maggiore) war ein deutscher Mathematiker, der trotz seines kurzen Lebens auf vielen Gebieten der Analysis, Differentialgeometrie, mathematischen Physik und der analytischen Zahlentheorie bahnbrechend wirkte. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker.

Leben

Herkunft und Jugend

Riemann wurde als Sohn eines lutherischen Pastors geboren und wuchs als eines von fünf Kindern unter beengten Verhältnissen auf. Seine Mutter, die Tochter des Hofrats Ebell in Hannover, war früh verstorben (1846) und sein Vater, Friedrich Bernhard Riemann, der aus Boizenburg stammte, an den Befreiungskriegen (Armee von Wallmoden) teilnahm und zuletzt in Quickborn bei Dannenberg Pastor war, starb 1855. Riemann hielt stets enge Verbindung zu seiner Familie. Er besuchte von 1840 bis 1842 das Gymnasium in Hannover, danach bis 1846 das Gymnasium Johanneum in Lüneburg, wobei er den katastrophalen Brand Hamburgs in der Ferne beobachten konnte. Schon früh fielen seine mathematischen Fähigkeiten auf. Ein Lehrer, der Rektor Schmalfuss, lieh ihm Legendres Zahlentheorie (Théorie des Nombres), ein schwieriges Werk von 859 Quartformat-Seiten, bekam sie aber schon eine Woche später zurück und fand, als er Riemann im Abitur über dieses Werk weit über das Übliche hinaus prüfte, dass Riemann sie sich vollständig zu eigen gemacht hatte.

Studium

Riemann sollte zunächst wie sein Vater Theologe werden und hatte dazu schon in Lüneburg neben Latein und Griechisch auch Hebräisch gelernt; dann aber wechselte er in Göttingen zur Mathematik. Von 1846 bis 1847 studierte er in Göttingen u.a. bei Moritz Stern, Johann Benedict Listing - einem Pionier der Topologie (1847 schrieb er ein Buch darüber) - und Carl Friedrich Gauß, der aber damals fast ausschließlich über Astronomie und nur noch selten über angewandte Themen wie seine Methode der kleinsten Quadrate las. 1847-1849 hörte Riemann in Berlin Vorlesungen von Peter Gustav Dirichlet über partielle Differentialgleichungen, bei Jacobi und Gotthold Eisenstein - mit dem er nähere Bekanntschaft schloss - über elliptische Funktionen, bei Steiner Geometrie. Nach Richard Dedekind beeindruckten ihn in dieser Zeit auch die Ereignisse der Revolution vom März 1848 - so hielt er als Teil des Studentenkorps einen Tag Wache vor dem königlichen Schloss. 1849 war er wieder in Göttingen und begann die Arbeit an seiner Dissertation zur Funktionentheorie, die er 1851 abschloss. Danach wurde er vorübergehend Assistent des Physikers Wilhelm Eduard Weber. 1854 habilitierte er sich.

Professor in Göttingen, Reisen und Ende

Ab 1857 hatte er in Göttingen eine außerordentliche Professur. Im selben Jahr zogen seine zwei verbleibenden Schwestern zu ihm, für die er nach dem Tod seines Bruders trotz seines schmalen Gehalts sorgen musste - zur damaligen Zeit bestand das Gehalt eines Professors zum großen Teil aus Hörergeldern, und je anspruchsvoller die Vorlesung war, desto weniger Hörer stellten sich in aller Regel ein. Riemann erlitt aus Überarbeitung einen Zusammenbruch und begab sich zur Erholung nach Bad Harzburg zu Dedekind. 1858 besuchten ihn die italienischen Mathematiker Brioschi, Betti und Casorati in Göttingen, mit denen er sich befreundete und denen er topologische Ideen vermittelte. Nach Dirichlets Tod 1859 wurde er zu dessen Nachfolger auf den Lehrstuhl von Gauß zum ordentlichen Professor berufen. Im selben Jahr besuchte er erneut Berlin und traf dort Kummer, Weierstraß und Kronecker. 1860 reiste er nach Paris und traf Puiseux, Bertrand, Hermite, Briot und Bouquet. 1862 heiratete er Elise Koch, eine Freundin seiner Schwestern, mit der er eine Tochter, Ida, hatte, die 1863 in Pisa geboren wurde. Er hielt sich dann länger in Italien auf und traf seine italienischen Mathematikerfreunde wieder. Auf der Rückkehr von einer Italienreise 1862 verschlechterte sich sein Gesundheitszustand. Riemann litt an Tuberkulose. Auch längere Aufenthalte im milden Klima Italiens konnten die Krankheit nicht heilen. Vor den 1866 in Göttingen aufeinander treffenden Heeren Hannovers und Preußens fliehend und erneut in Italien Erholung suchend, starb er im Alter von 39 Jahren auf seiner dritten Italienreise am Lago Maggiore, wo er auch begraben ist.

Werk

Trotz seines kurzen Lebens wurde Riemann zu einem der herausragendsten Mathematiker, dessen Werk bis heute von großer Bedeutung für die Naturwissenschaften ist. Zum einen gehörte er zu den Begründern der Funktionentheorie, der Lehre von den Funktionen der komplexen Veränderlichen. Zum anderen gilt er als Begründer der riemannschen Geometrie als einer der Wegbereiter von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie.

Geometrie

Veröffentlicht hat er seine Ideen zur „riemannschen Geometrie“, d.h. Differentialgeometrie in beliebig vielen Dimensionen mit lokal definierter Metrik, nur in seinem Habilitationsvortrag 1854, den er noch in Gegenwart des tief beeindruckten Carl Friedrich Gauß hielt. Er hatte mehrere Themen vorgeschlagen und die „Hypothesen, welche der Geometrie zugrundeliegen“ nur als letztes aufgeführt^[1]. Gauß wählte (was eigentlich unüblich ist) gezielt dieses Thema. In dem Vortrag musste sich Riemann gezwungenermaßen für einen breiteren Kreis verständlich ausdrücken, und es kommen deshalb nur wenige Formeln darin vor. In einer Pariser Preisschrift (publiziert erst 1876 in den Gesammelten Werken) deutet Riemann die konkretere Ausführung seiner Vorstellungen an (u.a. Christoffel-Symbole, Krümmungstensor).

Funktionentheorie

Seine geometrische Begründung der Funktionentheorie mit der Einführung riemannscher Flächen, auf denen mehrdeutige Funktionen wie der Logarithmus (unendlich viele Blätter) oder die Wurzelfunktion (zwei Blätter) „eindeutig“ werden, geschah in seiner Dissertation, die nach Dedekind schon im Herbst 1847 in Berlin fertig war (in Diskussionen mit Eisenstein soll er seinen Differentialgleichungs-Zugang zur Funktionentheorie gegenüber der mehr formalen Einstellung Eisensteins vertreten haben). Komplexe Funktionen sind „harmonische Funktionen“ (das heißt sie erfüllen die Laplacegleichung bzw. äquivalent dazu die cauchy-riemannschen Differentialgleichungen) auf diesen Flächen und werden durch die Lage ihrer Singularitäten und die Topologie dieser Flächen (Zahl der Schnitte u.a.) beschrieben. Das topologische „Geschlecht“ der Riemannflächen wird durch g = w/2 - n + 1 gegeben, wobei in den w Verzweigungspunkten der Fläche n Blätter aneinandergeheftet sind. Für g > 1 hat die riemannsche Fläche (3 g - 3) Parameter (die „Moduln“). Seine Beiträge zu diesem Gebiet sind zahlreich. Sein berühmter riemannscher Abbildungssatz besagt, dass jedes einfach zusammenhängende Gebiet in der komplexen Zahlenebene C entweder zu ganz C oder dem Innern des Einheitskreises „biholomorph“ äquivalent ist (das heißt es gibt eine analytische Abbildung, auch in umgekehrter Richtung). Die Verallgemeinerung des Satzes in Bezug auf riemannsche Flächen ist das berühmte Uniformisierungstheorem, um das sich im 19. Jahrhundert u.a. Henri Poincaré und Felix Klein bemühten. Auch hier sind strenge Beweise erst mit der Entwicklung ausreichender mathematischer Werkzeuge - in diesem Fall aus der Topologie - gegeben worden. Für den Beweis der Existenz von Funktionen auf riemannschen Flächen verwendete er eine Minimalbedingung, die er das Dirichlet-Prinzip nannte (Minimierung des Integrals (über die Fläche) des skalaren Quadrats des Gradienten der Funktionen, also quasi der „Energie“. Partielle Integration in diesem Integral liefert die Laplacegleichung.) Weierstraß wies sofort auf eine Lücke hin: Riemann hatte mit seiner „Arbeitshypothese“ (für ihn war die Existenz des Minimums anschaulich klar) nicht beachtet, dass der zu Grunde liegende Funktionenraum nicht vollständig sein muss und deshalb die Existenz eines Minimums nicht gesichert war. Durch die Arbeiten von Hilbert in der Variationsrechnung wurde das Dirichlet-Prinzip um die Jahrhundertwende auf theoretisch sicheren Boden gestellt. Weierstraß war im Übrigen von Riemann sehr beeindruckt, insbesondere von seiner Theorie abelscher Funktionen. Als diese erschien, zog er sein eigenes Manuskript, das schon bei Crelle lag, wieder zurück und publizierte es nicht mehr. Beide verstanden sich gut, als Riemann ihn 1859 in Berlin besuchte. Weierstraß regte seinen Schüler Hermann Amandus Schwarz an, nach Alternativen zum Dirichletprinzip in der Begründung der Funktionentheorie zu suchen, worin dieser auch erfolgreich war. Für die Schwierigkeiten, die zeitgenössische Mathematiker mit Riemanns neuen Ideen hatten, ist eine Anekdote bezeichnend, die Arnold Sommerfeld überlieferte^[2]: Weierstraß hatte sich Riemanns Dissertation in den 1870er Jahren zum Studium in den Urlaub auf dem Rigi mitgenommen und klagte, sie sei schwer verständlich. Der Physiker Hermann von Helmholtz borgte sich die Arbeit über Nacht aus und gab sie mit dem Kommentar zurück, sie sei für ihn „naturgemäß“ und „wie selbstverständlich“. Weitere Höhepunkte sind seine Arbeiten über abelsche Funktionen und Thetafunktionen auf riemannschen Flächen. Riemann war seit 1857 in einem Wettkampf mit Weierstraß um die Lösung des jacobischen Umkehrproblems der abelschen Integrale, einer Verallgemeinerung der elliptischen Integrale. Riemann benutzte Thetafunktionen in mehreren Variablen und reduzierte das Problem auf die Bestimmung der Nullstellen dieser Thetafunktionen. Riemann untersuchte auch die Periodenmatrix (der g abelschen Integrale 1. Gattung auf g Wegen, die sich aus „kanonischer Zerschneidung“ der Fläche mit 2g Wegen ergeben) und charakterisierte sie durch die „riemannschen Periodenrelationen“ (symmetrisch, Realteil negativ). Die Gültigkeit dieser Relationen ist nach Frobenius und Lefschetz äquivalent mit der Einbettung von Cⁿ / Ω, (Ω = Gitter aus der Periodenmatrix) in einen projektiven Raum mittels Thetafunktionen. Für n=g ist das die auch von Riemann untersuchte Jacobi-Varietät der Riemannfläche, ein Beispiel einer abelschen Mannigfaltigkeit (Gitter). Zahlreiche Mathematiker wie z.B. Alfred Clebsch führten die von Riemann erdachten Beziehungen zur Theorie algebraischer Kurven weiter aus. Diese Theorie lässt sich durch die Eigenschaften der auf einer riemannschen Fläche definierbaren Funktionen ausdrücken. Beispielsweise macht der Satz von Riemann-Roch (Roch war ein Student Riemanns) Aussagen über die Anzahl der linear unabhängigen Differentiale (mit gewissen Vorgaben an deren Null- und Polstellen) auf einer riemannschen Fläche. Nach Laugwitz tauchen in einem Aufsatz über die Laplacegleichung auf elektrisch leitenden Zylindern erstmals automorphe Funktionen auf. Riemann benutzte allerdings solche Funktionen auch für konforme Abbildungen z.B. von Kreisbogendreiecken in den Kreis in seinen Vorlesungen über hypergeometrische Funktionen 1859 (von Schwarz wiederentdeckt) oder in der Abhandlung über Minimalflächen. Freudenthal sieht es als größten Fehler Riemanns an, dass er nicht schon in seiner Einführung der Riemannflächen an den Schnitten Möbiustransformationen zulässt und so automorphe Funktionen einführt (was er in der Theorie der hypergeometrischen Differentialgleichung an den singulären Stellen tut). Übrigens kannte Riemann den Gauß-Nachlass, in dem auch die Modulfigur auftaucht.

Zahlentheorie

Seine Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe von 1859, seiner einzigen Arbeit zur Zahlentheorie, gilt mit einigen Arbeiten von Tschebyscheff und seinem Lehrer Dirichlet als Gründungsschrift der analytischen Zahlentheorie. Es ging um den Versuch, den von Gauß vermuteten Primzahlsatz zu beweisen und zu verschärfen. In dieser Arbeit machte er mit Hilfe der Funktionentheorie sehr weitgehende Aussagen über die Verteilung der Primzahlen. Hier findet sich vor allem auch die nach ihm benannte riemannsche Vermutung über die Nullstellen der Zetafunktion, allerdings nur in einem Satz erwähnt (er habe den Beweis nach einigen flüchtigen Versuchen aufgegeben, da er für den unmittelbaren Zweck der Abhandlung nicht nötig sei). Sie ist von tragender Bedeutung für die Zahlentheorie, aber bis heute unbewiesen. Dass auch hinter diesem kurzen Aufsatz weit umfangreichere Rechnungen Riemanns stecken, zeigte Siegel 1932 bei der Untersuchung von Riemanns Nachlass in Göttingen. In der Arbeit von Riemann sind noch viele weitere interessante Entwicklungen; so beweist er die Funktionalgleichung der Zetafunktion (die schon Euler bekannt ist), hinter der eine solche der Thetafunktion steckt. Auch gibt er eine viel bessere Näherung für die Primzahlverteilung π(x) als die Gauß´sche Funktion Li(x). Durch Summation dieser Näherungsfunktion über die nichttrivialen Nullstellen auf der Geraden mit Realteil 1/2 gibt er sogar eine exakte „explizite Formel“ für π(x). Riemann kannte die Arbeiten von Tschebyscheff zum Primzahlsatz. Dieser hatte 1852 Dirichlet besucht. Seine Methoden sind aber gänzlich anders.

Reelle Funktionen, Fourierreihen, Riemannintegral, Hypergeometrische Differentialgleichung

Auf dem Gebiet der reellen Funktionen entwickelte er das ebenfalls nach ihm benannte Riemann-Integral (in seiner Habilitation). Er bewies unter anderem, dass jede stückweise stetige Funktion integrierbar ist. Ebenso geht das Stieltjes-Integral auf den Göttinger Mathematiker zurück und wird deshalb mitunter auch als Riemann-Stieltjes-Integral bezeichnet. In seiner Habilitationsarbeit über Fourierreihen, wo er ebenfalls den Spuren seines Lehrers Dirichlet folgte, bewies er, dass riemann-integrable Funktionen durch Fourierreihen „darstellbar“ sind. Dirichlet hatte dies für stetige, stückweise differenzierbare Funktionen (also mit abzählbar vielen Sprungstellen) bewiesen. Riemann gab als von Dirichlet nicht erfassten Fall das Beispiel einer stetigen, fast nirgends differenzierbaren Funktion, in Form einer Fourierreihe. Außerdem bewies er das Riemann-Lebesgue Lemma: falls eine Funktion durch eine Fourierreihe darstellbar ist, gehen die Fourierkoeffizienten für große n gegen Null. Riemanns Aufsatz war auch der Ausgangspunkt von Georg Cantors Beschäftigung mit Fourierreihen, woraus dann die Mengenlehre entstand. Er behandelte auch die hypergeometrische Differentialgleichung 1857 mit funktionentheoretischen Methoden und kennzeichnete die Lösungen durch in der Monodromiematrix beschriebenes Verhalten auf geschlossenen Wegen um die Singularitäten herum. Der Beweis der Existenz einer solchen Differentialgleichung bei vorgegebener Monodromiematrix ist eines der Hilbert-Probleme (Riemann-Hilbert-Problem).

Mathematische Physik, Naturphilosophie

Riemann interessierte sich auch stark für die mathematische Physik und Naturphilosophie unter dem Einfluss des Philosophen Johann Friedrich Herbart: er vertrat eine Art „Feldtheorie“ der geistigen Phänomene ähnlich der elektrodynamischen in Analogie zum Gauß´schen Satz der Potentialtheorie. Herbart: „In jedem Augenblick tritt etwas Bleibendes in unsere Seele, um gleich wieder zu verschwinden.“ ^[3] Für Herbart, der im Rückgriff auf Hume eine mathematische Begründung der Psychologie suchte, war das Subjekt nur das veränderliche Produkt der Ideen. Riemanns Ideen zur Naturphilosophie aus seinem Nachlass sind in seinen Gesammelten Werken veröffentlicht. Sein „Beitrag zur Elektrodynamik“ von 1858, den er von der Publikation zurückzog, sollte die Elektrodynamik vereinheitlichen: Coulombkräfte (Schwere, Elektrizität) aus Widerstand gegen Volumenänderung, „elektrodynamische“ Kräfte wie Licht, Wärmestrahlung aus Widerstand gegen Längenänderung eines Linienelements (er geht von Ampères Gesetz der Wechselwirkung zweier Ströme aus). Anstelle der Poisson-Gleichung für das Potential, kommt er zu einer Wellengleichung mit konstanter Lichtgeschwindigkeit. Bei der Entwicklung seiner Ideen wurde er von Isaac Newtons 3. Brief an Bentley beeinflusst (zitiert in Brewsters „Life of Newton“). Rudolf Clausius fand in der postum veröffentlichten Arbeit einen schweren Fehler. Seine Verwendung des Dirichlet-Prinzips deutet schon auf Variationsmethoden hin, und Riemann hat auch eine Arbeit über Minimalflächen geschrieben. Nach Laugwitz ist sie von Hattendorff, der sie postum herausgab, ungeschickt bearbeitet worden und nimmt viele Ideen von Hermann Amandus Schwarz vorweg. In der mathematischen Physik arbeitete er beispielsweise über Wärmeleitungsprobleme, Potentialprobleme, hyperbolische Differentialgleichung (er fand 1860 eine neue Lösungsmethode für Differentialgleichungen, die Stoßwellen beschreiben) und Figuren rotierender Flüssigkeiten. Aufgrund seiner Untersuchungen hyperbolischer Gleichungen ist das Riemann-Problem nach ihm benannt. Auf dem Gebiet rotierender Flüssigkeiten beantwortete er eine Frage Dirichlets und fand neue Figuren neben den schon bekannten von Dedekind, Dirichlet und MacLaurin. Außerdem betrachtete er ihre Stabilität (Ljapunow vorwegnehmend). Hattendorf hat seine Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen der mathematischen Physik nach seinem Tod herausgegeben. Später wurde daraus in der Bearbeitung von Heinrich Weber ein damals bekanntes Lehrbuch. Noch kurz vor seinem Tod arbeitete er an einer Theorie des menschlichen Ohrs.

Wirkung und Würdigung

Riemanns Freund Richard Dedekind hat seine Werke nach seinem Tod 1892 in zweiter Auflage (1.Auflage 1876 durch Heinrich Weber) herausgegeben (und mit einer Biographie versehen), darunter auch viel nicht publiziertes Material (weitere Arbeiten soll seine Haushälterin kurz nach seinem Tod aus Unkenntnis verbrannt haben^[4]). Die Popularisierung seiner Funktionentheorie, die damals in Konkurrenz zu der „Potenzreihen“-Funktionentheorie à la Cauchy und Weierstraß stand, erfolgte vor allem durch Felix Klein in seinen Vorlesungen in Leipzig und Göttingen, wobei dieser sich nicht scheute, physikalische Analogien zu betonen. Auch Carl Gottfried Neumann trug in verschiedenen Büchern zur Verbreitung von Riemanns Ideen bei. Deshalb hatte Riemanns Funktionentheorie von Anfang an bei Physikern wie Hermann von Helmholtz Erfolg, während sie bei den Mathematikern dank Weierstraß’ Kritik am Dirichletprinzip lange suspekt war. Helmholtz wandte sie schon 1868 in einer Arbeit über Flüssigkeitsbewegung (konforme Abbildungen) an und schrieb 1868 an Riemann anknüpfend eine Arbeit über das später so genannte „Riemann-Helmholtz-Raumproblem“. Insbesondere fielen Riemanns Ideen in Italien, in dessen gerade gegründetem Nationalstaat ein großer Hunger nach neuen Ideen bestand, auf fruchtbaren Boden (Differentialgeometrie, algebraische Geometrie u. a.). Es bestanden auch persönliche Beziehungen von Riemann, der sich zur Wiederherstellung seiner Gesundheit gern in Italien aufhielt, zu italienischen Mathematikern wie Enrico Betti und Eugenio Beltrami, und diese versuchten ihn sogar, ganz nach Italien auf einen Lehrstuhl in Pisa zu ziehen. Seine Krankheit und sein Tod verhinderten dies. Zu seinen unmittelbaren deutschen Schülern zählten Friedrich Schottky, Gustav Roch (der im selben Jahr wie Riemann und ebenfalls an Tuberkulose starb), Friedrich Prym, der wie Roch 1861 bei Riemann hörte und seine Methoden gleich in seiner Dissertation 1862 bei Kummer anwandte. Typisch für Riemann war ein konzeptionelles, viele Bereiche verbindendes Denken, er war aber auch „technisch“ sehr stark. Wie sein Vorbild Dirichlet vermied er aber nach Möglichkeit Rechnungen. Mit ihm begann die Topologie eine zentrale Rolle in der Mathematik zu spielen.

Schriften

• Narasimhan Hrsg. Riemanns Gesammelte Werke, Teubner/Springer 1990 (mit dem Nachruf von Schering, der auch in dessen Gesammelten Werken Bd. 2 abgedruckt ist), oder englischer Reprint der 2. Auflage von 1892, Dover
• Stahl (Hrsg.) Riemanns Vorlesungen über elliptische Funktionen, Teubner 1899
• Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe in Monatsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, Berlin, November 1859, Seite 671 ff. Hier findet sich die Riemannsche Vermutung. Digitale Ausgabe
• Vorlesungen über „Partielle Differentialgleichungen“ (3. Aufl., Braunschweig 1882) und
• „Schwere, Elektrizität und Magnetismus“. Hannover, 1876, Hrsg. Hattendorff.
• „Partielle Differentialgleichungen und deren Anwendung auf physikalische Fragen“ mit Karl Hattendorff, Braunschweig 1869
• The Mathematical Papers of Georg Friedrich Bernhard Riemann, auch in [1]
• „Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe“, Abh. Kgl. Ges. Wiss., Göttingen 1868
• „Über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite“, Abh. Kgl. Ges. Wiss., Göttingen 1860, seine spezielle „Schockwelle“
• „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen“, Abh. Kgl. Ges. Wiss., Göttingen 1868
• „Beiträge zur Theorie der durch die Gausssche Reihe F(α,β,γ,x) darstellbaren Funktionen“, Abh. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen 1857
• „Über das Verschwinden der Thetafunktionen“, Crelles Journal 1866
• „Bestimmung der Funktion einer veränderlichen komplexen Größe durch Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen“, Crelles Journal 1857
• „Theorie der Abelschen Funktionen“, Crelles Journal 1857
• „Über die Fläche kleinsten Inhalts bei gegebener Begrenzung“, Abh. Kgl. Ges. Wis. Göttingen, 1868
• „Ein Beitrag zur Untersuchung über die Bewegungen eines gleichartigen flüssigen Ellipsoids“, Abh. Ges. Wiss. Göttingen 1861

Literatur

• Eric Temple Bell: Men of mathematics, New York 1986 (Erstauflage 1937) — auf Deutsch unter dem Titel: Die großen Mathematiker, Econ Verlag 1967
• Umberto Bottazzini: Riemanns Einfluß auf E. Betti und F. Casorati, in: Archive for History of Exact Sciences, Bd.18, Nr. 1, März 1977
• ders.: „Algebraic Truths“ vs „Geometric Fantasies“: Weierstrass' Response to Riemann, in: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Peking, 20.-28. August 2002
• Umberto Bottazzini und Rossana Tazzioli: “Naturphilosophie and its role in Riemann’s mathematics.” Revue d’Histoire des Mathématiques 1:3–38, 1995.
• Richard Dedekind: Bernhard Riemanns’s Lebenslauf, aus: Richard Dedekind, Heinrich Weber (Hrsg.) Bernhard Riemann’s gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass. 2. Auflage. - Leipzig, 1892. - S. 541–558, Online-Volltext (pdf) an der Universität Heidelberg
• John Derbyshire: Prime Obsession. Bernhard Riemann And The Greatest Unsolved Problem In Mathematics, Washington, D.C. 2003, ISBN 0-309-08549-7
• Harold Edwards: Riemann's Zeta Function, Mineola, New York 2001 (Reprint), ISBN 0-486-41740-9
• Hans Freudenthal: Artikel Riemann in Dictionary of Scientific Biography
• Felix Klein: Geschichte der Entwicklung der Mathematik im 19.Jahrhundert, Springer Verlag, online hier:[2]
• Detlef Laugwitz: Bernhard Riemann 1826-1866, Basel, Birkhäuser, 1996, ISBN 978-3-7643-5189-2
• Michael Monastyrsky: Riemann, Topology and Physics, Birkhäuser 2.Auflage 1999, ISBN 0-8176-3789-3
• Erwin Neuenschwander: Riemann und das „Weierstraßsche“ Prinzip der analytischen Fortsetzung durch Potenzreihen, Jahresbericht Deutsche Mathematiker Vereinigung, Bd. 82, S. 1-11 (1980)
• Winfried Scharlau (Hrsg.) Richard Dedekind: 1831 - 1981, eine Würdigung zu seinem 150. Geburtstag, Braunschweig, Vieweg, 1981, ISBN 3-528-08498-7 (hier auch von Dedekind zu Riemann einiges, was er in seiner Biographie in den Gesammelten Werken mit Rücksicht auf die Witwe verschwieg)
• Ernst Schering: Rede zum Gedächtnis an Riemann vom 1. Dezember 1899, in: Riemann, Bernhard: Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlaß. Herausgegeben unter Mitwirkung von Richard Dedekind und Heinrich Weber, Zweite Auflage, Leipzig 1892, Bd.2
• Carl Ludwig Siegel: Vorlesungen über ausgewählte Kapitel der Funktionentheorie, Göttingen, o.J./1995, Bd.1,2 (Erläuterung von Riemanns Arbeiten), erhältlich hier:[3]
• ders.: Über Riemanns Nachlass zur analytischen Zahlentheorie, Quellen-Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abt. B: Studien 2, (1932), S. 45–80. (auch in Gesammelte Abhandlungen, Bd. 1, Springer-Verlag, Berlin and New York 1979, ISBN 978-3-540-09374-9)
• André Weil: Riemann, Betti and the birth of topology, in: Archive for History of Exact Sciences, Bd. 20, 1979, S.91 und Bd.21, 1980, S. 387 (u.a. Brief Bettis, in dem er eine Äußerung Riemanns wiedergibt, er hätte die Idee für seine Schnitte aus einer Unterredung mit Gauss)
• Hermann Weyl, Erläuterungen in seiner Herausgabe von Riemann: Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen, Berlin, Springer 1919
• ders. Riemanns geometrische Ideen, ihre Auswirkungen und ihre Verknüpfung mit der Gruppentheorie, Springer 1988

Otto Toeplitz (1881-1940)

Biographie.Otto Toeplitz wurde am 1. 8. 1881 in Breslau geboren und verstarb am 11. 10. 1940 in Jerusalem. Er war ein deutsch-jüdischer Mathematiker, der auf dem Gebiet der linearen Algebra und der Funktionalanalysis arbeitete. Er war Professor in Bonn, musste aber nach der Machtergreifung der Nazis seine Position aufgeben und emigrierte 1939 nach Palästina.

Otto Toeplitz kam aus einer jüdischen Familie, die mehrere Mathematiklehrer hervorgebracht hatte. Otto wuchs in Breslau auf und besuchte dort ein Gymnasium. Natürlich studierte er danach Mathematik, in Breslau. Nach dem Examen setzte er seine Studien der algebraischen Geometrie an der Leopoldina Breslau fort und legte 1905 sein Doktorexamen ab. Schon im Studium hatte er R. Courant, E. Hellinger und Max Born kennen gelernt, 1906 ging er für sieben Jahre nach Göttingen. Bei seiner Ankunft vervollständigte HILBERT  gerade seine Theorie der Integralgleichungen. Unter diesem Einfluss begann Toeplitz die klassischen Theorien der Prozesse in n-dimensionen Räumen (Toeplitz-Matrix ) zu überarbeiten und entdeckte die grundlegenden Ideen dessen, was heute Toeplitz-Operatoren genannt wird. Als er in Göttingen ankam, war Hellinger dort Doktorand. Beide wurden schnell Freunde und arbeiteten viele Jahre eng zusammen ( Hellinger-Toeplitz-Theorem). Hellinger verließ Göttingen 1909. Vier Jahre später nahm Toeplitz das Angebot einer Lehrtätigkeit als ao. Professor in Kiel an und 1920 wurde er dort zum ordentlichen Professor befördert. Viele Jahre lang arbeitete er mit Hellinger zusammen an einem größeren Enzyklopädie-Artikel über Integralgleichungen, der 1927 gedruckt erschien. 1928 nahm Toeplitz das Angebot eines Lehrstuhls an der Universität Bonn an.

Als am 4. April 1933 das Gesetz zur Wiederherstellung des Berufsbeamtentums in Kraft trat, nach dem er seine Stellung verloren hätte, behielt Toeplitz zunächst seinen Posten, weil er schon vor 1914 Beamter gewesen war und damit den Ausnahmeparagraphen 3 erfüllte. Nach dem Parteitag in Nürnberg wurde er jedoch im Herbst 1935 emeritiert. Toeplitz hätte besser schon 1933 Deutschland verlassen sollen. Stattdessen hatte er als stolzer Jude mit Hilfstätigkeiten für die jüdische Gemeinschaft (vgl. H. Hopf und H. Weyl) begonnen und blieb noch bis 1938 in Deutschland. Dazu schrieb er 1935 an COURANT:

"Denn dies ist meine Auffassung: wir müssen die Stellen, auf denen man uns lässt, bis zum letzten Augenblick halten, nicht als ob eine Besserung in Sicht wäre - ausgeschlossen - sondern weil wir sonst in irgend einer Form der allgemeinen Judenheit zur Last fallen, mindestens einem anderen die Stellen wegnehmen. Ich betrachte es als ein Opfer, das ich der Judenheit bringe, auf diesem Posten auszuhalten."

Z.B. brachte er jüdische Schulkinder in Bonn in eine jüdische Schule, die er gegründet hatte, und verhalf jüdischen bzw. regimekritischen Studenten zur schnelleren Promotion, so z.B. Hans SCHWERDTFEGER (später Privatassistent für Mathematik bei Gustav HERGLOTZ . Anderen versuchte er bei der Stellensuche und Emigration beizustehen. Seine Tochter Eva Wohl schreibt:

"Of course it was very painful for him to realize that some of his colleagues at the university had fallen into the Nazis trap; still there remained a handful of very faithful friends with whom he worked till the day of his emigration. My father was very happy to have the opportunity to emigrate to Palestine (as it then was) in 1939 and to be able to help in the building up of Jerusalem University. He had great plans for modernizing the university but unfortunately he became very ill and died a year after his arrival."

Einer seiner Söhne, Uri (Erich) Toeplitz, ist Flötist und Mitbegründer des Israel Philharmonic Orchestra.

Leistungen

Toeplitz arbeitete an unendlichen linearen und quadratischen Formen. In den 1930er Jahren entwickelte er eine allgemeine Theorie für unendlich-dimensionale Räume und kritisierte Banachs Arbeit als zu abstrakt (Toeplitz-Operator). 1934 schrieb er in Zusammenarbeit mit Gottfried KÖTHE  für eine Einführung in den Zusammenhang linearer Folgenräume einige wichtige neue Konzepte und Theoreme.

Toeplitz war auch an der Geschichte und Entwicklung der Mathematik sehr interessiert. Er begann ein Buch über die Geschichte des Rechnens "The Calculus: A Genetic Approach"(1936) zu schreiben. Darin wollte er mit einer neuen Methode die bekannten Schwierigkeiten der Vorlesung über Infinitesimalrechnung meistern. G. KÖTHE schreibt dazu:

Er will dem jungen Studenten, der wissen möchte, inwiefern die Mathematik spannend, inwiefern sie schön ist, die Entdeckungen in ihrer ganzen Dramatik vorführen und so die Fragestellungen, Begriffe und Tatsachen vor ihm entstehen lassen. Über seine Ideen, an die Wurzeln der Begriffe zurückzugehen, sagte er in einem Vortrag vor dem Mathematischen Reichsverband in Düsseldorf 1928: "Der Historiker, auch der der Mathematik, hat die Aufgabe, alles Gewesene zu registrieren, ob es gut war oder schlecht. Ich will aus der Historie nur die Motive für die Dinge, die sich hernach bewährt haben, herausgreifen und will sie direkt oder indirekt verwerten. Nichts liegt mir ferner, als eine Geschichte der infinitesimalrechnung zu lesen; ich selbst bin als Student aus einer ähnlichen Vorlesung weggelaufen. Nicht um die Geschichte handelt es sich, sondern um die Genesis der Probleme, der Tatsachen und Beweise, um die entscheidenden Wendepunkte dieser Genesis."

Er hat viele Jahre daran gearbeitet, eingehende historische Studien über die Entwicklung der Infinitesimalrechnung getrieben und in seinen Vorlesungen immer wieder andere Darstellungen mit seinen Studenten erprobt und neue Formulierungen gesucht. Leider konnte er das Buch nicht vollenden, in den letzten Jahren schwerster seelischer Bedrückung fand er nur selten die Kraft zu intensiver wissenschaftlicher Arbeit. Das Original wurde posthum auf Deutsch von G. KÖTHE unter dem Titel "Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung, eine Einführung in die Infinitesimalrechnung nach der genetischen Methode" im Jahr 1949 herausgegeben.

Ein historischer Gegenstand, der ihn sehr interessierte, war die Beziehung zwischen griechischer Mathematik und griechischer Philosophie. In den 20er und 30er Jahren besuchte er häufig das Frankfurter Mathematische Seminar, wo sein Freund E. Hellinger seit 1914 arbeitete und wo die Geschichte der Mathematik eine große Rolle spielte. Toeplitz glaubte:

"... that only a mathematician of stature is qualified to be a historian of mathematics."

Toeplitz schrieb zusammen mit H. Rademacher ein populärwissenschaftliches Buch über Mathematik. Dieses Werk, "The Enjoyment of Mathematics" wurde über die Jahre vielmals wieder aufgelegt. Auch der Schulmathematik widmete er sich mit großem Interesse und viel Zeit. Er war an der Denkschrift zum 60. Geburtstag von David Hilbert beteiligt (außerdem: O. Blumenthal, M. Dehn, R. COURANT, M. Born, P. BERNAYS, K. SIEGEL; Quelle: Literaturverzeichnis zu D. Hilbert S. 503 in "Hans Wußing, Wolfgang Arnold, Biographien bedeutender Mathematiker, Volk und Wissen Verlag Berlin 1978" ).

Georg Alexander Pick mathematiker

Georg Alexander Pick wird am 10. August 1859 in Wien geboren. Er stammt aus einer jüdischen Familie. Sein Vater, Dr. Adolf Josef Pick, ist Vorsteher einer Privatlehranstalt; seine Mutter Josefa eine geborene Schleisinger. Den ersten Unterricht, der den Stoff der Normalschule und der ersten drei Gymnasialklassen abdeckt, erteilt der Vater. Zum Schuljahr 1870/71 tritt Georg Pick in die vierte Klasse des Leopoldstädter Communalgymnasiums (Direktor Pokorny) ein. Nach der 1875 bestandenen Maturitätsprüfung studiert er bis 1879 an der Universität Wien Mathematik und Philosophie. Im Jahr 1876 erscheint seine erste, aber vermutlich fehlerhafte mathematische Veröffentlichung. Im Winter 1879/80 legt er die Lehramtsprüfung in den Fächern Mathematik und Physik mit gutem Erfolg ab.

Am 16. April 1880 beantragt er die Zulassung zur Promotion in Mathematik als Hauptfach und in Philosophie

mit der Dissertation: „Über eine Klasse abelscher Integrale“. Die Arbeit wird von Leo Königsberger (* Posen 15.10. 1837, † Heidelberg 15. 12. 1921) als Erstgutachter und Emil Weyr (* Prag 31. 8. 1848, † Wien 25. 1. 1894) als Zweitgutachter beurteilt: „Wesentlich neu ist die Zurückführung des allgemeinen zur mten Wurzel gehörigen Integrales auf feste Normalformen und die Angabe der Criterien, welche anzeigen, wann Integrale gewisser Gattungen in den allgemeinen Integralen fehlen; endlich wird ein ursprünglich von Hermite für elliptische Integrale gefundener Satz auf die allgemeinen zur mten Wurzel gehörigen Integrale ausgedehnt.“ [Rig]1 Im Anschluß an die Promotion erhält er als Assistent von Ernst Mach (* Turas/Mähren 18. 2. 1838, † Haar bei München 19. 2. 1916) eine Stelle an der noch ungeteilten Karl-Ferdinands-Universität Prag, wohin er 1881 übersiedelt. Nach der Teilung der Universität habilitiert er sich 1882 mit der Arbeit: „Über die Integration hyperelliptischer Differentiale durch Logarithmen.“ 1884/85 verbringt er ein Forschungssemester bei Felix Klein (* Düsseldorf 24.4. 1849, † Göttingen 22. 6. 1925) in Leipzig. 1888 wird er zum a.o. Professor, 1892 als Nachfolger von Heinrich Durège (* Danzig 13. 7. 1821, † Prag 19. 4. 1893) zum o.ö. Professor an der Deutschen Universität Prag ernannt.

In der Gesellschaft zur Förderung deutscher Wissenschaft, Kunst und Kultur in Böhmen (ab 1924: Deutsche Gesellschaft der Wissenschaften und Künste in der Tschechoslowakischen Republik) ist Moritz Allé (* Baden bei Wien 19. 7. 1837, † Wien 6. 4. 1913) der einzige Fachvertreter der Reinen Mathematik; er wechselt 1896 von der Deutschen Technischen Hochschule Prag an die Technische Hochschule Wien. Gewissermaßen als Nachfolger wird Georg Pick zum ordentlichen Mitglied der Gesellschaft, Abteilung für Wissenschaft gewählt; ein Jahr später wird dieser auch Mitglied der Abteilung für Tondichtung. Im Studienjahr 1900/01 ist er Dekan der Philosophischen Fakultät. 1910 ist er Mitglied der Berufungskommission, die Albert Einstein (* Ulm 14. 3. 1879, † Princeton 18. 4. 1955) auf den umgewidmeten Lehrstuhl für Theoretische Physik (vorher Lehrstuhl für Mathematische Physik) an der Deutschen Universität Prag beruft. Die Hauptrolle in der nur dreiköpfigen Kommission spielt nach [Her] der Experimentalphysiker Anton Lampa (* Budapest 17. 1. 1868, † Wien 28. 1. 1938), das dritte Mitglied ist der Physikochemiker Viktor Rothmund (* München 23. 7. 1870, † Prag 10. 5. 1927); nach [Kow2] ist jedoch Georg Pick die treibende Kraft für die Berufung Einsteins.

Viele Jahre wirkt Georg Pick erfolgreich an der Deutschen Universität Prag. Sein Schriftenverzeichnis umfasst

rund 70 wissenschaftliche Arbeiten und zeigt eine bemerkenswerte Breite; es enthält Beiträge zur Funktionalanalysis, zur Differentialgeometrie, zu elliptischen und abelschen Funktionen, zur Theorie der Differentialgleichungen und auch zur Elementargeometrie. Seine Fähigkeit mit anderen zusammenzuarbeiten zeigt sich in gemeinsamen Veröffentlichungen mit dem Physiker Philipp Frank (* Wien 20. 3. 1884, † Cambridge/Massachussetts 21.7. 1966), dem Nachfolger Einsteins an der Deutschen Universität Prag, und dem Differentialgeometer Wilhelm Blaschke (* Graz 13. 10. 1885, † Hamburg-Eppendorf 17. 3. 1962), der von 1913 bis 1915 als außerordentlicher Professor an der Deutschen Technischen Hochschule in Prag wirkte. Zu dem ersten Teil „Reine Theorie der Standorte“ (Tübingen 1909) des berühmten grundlegenden Werkes des Volkwirtschaftlers und Soziologen Alfred Weber (* Erfurt 30. 7. 1868, † Heidelberg 2. 5. 1958, 1904 - 1907 Professor in Prag) „Über den Standort von Industrien“ verfasst Georg Pick einen mathematischen Anhang. Seine vielleicht wichtigste Leistung ist jedoch die Entdeckung der verallgemeinerten natürlichen Geometrie. Der von Prag nach Dresden gegangene Kollege Gerhard Kowalewski (* Alt-Järshagen/Pommern 27. 3. 1876, † Gräfelfing bei München 21. 2. 1950) würdigt Picks Werk: „Diese wichtige geometrische Disziplin wurde von G. Pick begründet, dem geistvollen Prager Gelehrten, der zu einer Zeit, als die maßgebenden Mathematiker Deutschlands auf die Lieschen Theorien noch geringschätzig herabblickten, ständig Vorlesungen aus dem Lieschen Ideenkreise hielt. Er hat sich in hervorragender Weise um die Weiterbildung dieser Theorien verdient gemacht, und eine der schönsten Früchte, die er dabei erntete, war seine verallgemeinerte natürliche Geometrie.“ (Vorwort zur zweiten Auflage [Ces]) Eine eigene Monographie widmet Kowalewski „Georg Pick, dem Begründer der allgemeinen natürlichen Geometrie, dem Förderer der Lieschen Theorien in Forschung und Lehre verehrungsvoll zugeeignet in dankbarem Rückblick auf die gemeinsame Tätigkeit an der deutschen Universität zu Prag.“ [Kow1] Georg Picks mathematisches Werk ist bis heute aktuell. Es erscheinen immer wieder Veröffentlichungen, in deren Titel Begriffe wie „Pick matrices“, „Nevanlinna-Pick interpolation“, „Schwarz-Pick lemma“ [Oss] und ähnliche auftauchen. Weiteren Kreisen ist er durch ein „relatively minor, if extremely beautiful“ Ergebnis bekannt geworden, die Picksche Flächenformel für Polygone im Gitternetz: Sind die Eckpunkte eines einfach geschlossenen ebenen Polygones Gitterpunkte (= Punkte mit ganzzahligen Koordinaten) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, so berechnet sich die Fläche F des Polygons zu

F = I + R/2 - 1

wobei I die Anzahl der im Inneren des Polygons liegenden Gitterpunkte bezeichnet und R die Anzahl der auf dem Rand liegenden Gitterpunkte.

F=15 + 6/2 -1 = 17

Dieser Satz beschäftigt nicht nur die hauptamtlichen Mathematiker, sondern auch die Didaktiker und wird gelegentlich schon im 5. Schuljahr unterrichtet2. Zu ihm allein gibt es eine umfangreiche Literatur, von der am Ende nur einige wenige neuere Veröffentlichungen aufgelistet sind. Georg Pick ist nicht nur als Forscher, sondern auch als Lehrer von großer Bedeutung. Von der Klarheit und Verständlichkeit seiner Vorlesungen schwärmen seine Schüler noch lange nach dem Zweiten Weltkrieg. Sein umfangreiches Vorlesungsverzeichnis ist in [Lud] aufgelistet. Er ist der Doktorvater von zwanzig Doktoranden, darunter zwei Doktorandinnen. Sein bedeutendster Schüler ist vielleicht Karl Löwner (* Lana/Böhmen 29. 5 1893, †Stanford/Kalifornien 8. 1. 1968), der im akademischen Jahr 1916/17 mit der Dissertation „Untersuchung über die Verzerrung bei konformen Abbildungen des Einheitskreises (Z)>1, die durch Funktionen mit nicht verschwindender

Ableitung geliefert werden“ promoviert wird; nach der Habilitation in Berlin 1923 und Professuren

in Köln und an der Deutschen Universität Prag verlässt Karl Löwner 1939 das Deutsche Reich und setzt seine Lehr- und Forschungstätigkeit an verschiedenen Universitäten in den Vereinigten Staaten fort: University of Louisville/Kentucky, Brown University Providence/Rhode Island, University of Syracuse/New York und University of Stanford/Kalifornien. Zur Persönlichkeit von Georg Pick macht Gerhard Kowalewski einige Bemerkungen in seinen Lebenserinnerungen [Kow2]: „Pick war eine vornehme Persönlichkeit mit ausgezeichneten Umgangsformen. Er hatte mit drei anderen Professoren, zu denen der Maschinenbauprofessor Camillo Körner gehörte, ein Quartett, das wunderbar spielte. Damals interessierte sich Pick für die Lieschen Theorien und las jedes Semester darüber. … Er setzte in ausgezeichneter Weise die Tradition von Durège fort, des Bücher und Vorlesungshefte in der Seminarbibliothek aufgestellt waren.“ Darüber hinaus gibt es einige Äußerungen aus dem Umfeld von Albert Einstein. Einer von

Einsteins Biographen, der schon genannte Philipp Frank, schreibt: „Von seinen engsten Kollegen fühlte er [Einstein] sich am meisten zu dem Mathematiker Georg Pick hingezogen.“ Etwas Ausführlicheres findet sich in

[Toe]: „So lud ihn [Einstein] eines Tages der Mathematiker Pick zu einer Hausmusik als Mitspieler. Pick spielte als Bratschist im Hausquartett der Familie von Portheim. Die beiden verabredeten also, sich an irgendeiner gelegenen Straßenecke zu treffen, um gemeinsam zu von Portheims zu gehen. Pick war Junggeselle, älter als Einstein. Ungemein korrekt in Kleidung und Haltung. Er war entsetzt, wäre am liebsten nachhause gegangen und nicht mit Einstein gegangen, als er sah, wie dieser zur verabredeten Stunde auf der offenen Straße vor ihn trat, die nackte Geige mit Bogen statt in einem Kasten, wie üblich, sondern in ein blütenweißes Tuch gewickelt. Er ging aber dann doch sauer lächelnd mit und war versöhnt, als dann die ersten Töne aus dieser so unkonventionellen Geige aufklangen.“ Der Beitritt zur Abteilung für Tondichtung der Gesellschaft zur Förderung deutscher Wissenschaft, Kunst und Kultur in Böhmen ist ein weiterer Beleg für Georg Picks musikalische Interessen und Fähigkeiten. Im Jahr 1929 wird Georg Pick emeritiert und er kehrt in seine Vaterstadt Wien zurück. Die Gesellschaft zur Förderung deutscher Wissenschaft, Kunst und Kultur in der Tschechoslowakischen Republik führt ihn nun als korrespondierendes Mitglied. Nach der Vereinigung Österreichs mit dem Deutschen Reich im Jahr 1938 zieht er wieder nach Prag. Aber auch das rettet ihn nicht. Ein Jahr später wird er aus der ebengenannten Gesellschaft zur Förderung deutscher Wissenschaft, Kunst und Kultur ausgeschlossen und am 13.Juli 1942 in das Konzentrationslager Theresienstadt in Nordböhmen deportiert, wo er vierzehn Tage später, am 26. Juli 1942, verstirbt.

Die Hausdorff-Dimension

Die Hausdorff-Dimension wurde von Felix Hausdorf  eingeführt und bietet die Möglichkeit, beliebigen metrischen Räumen, wie beispielsweise Fraktalen, eine Dimension zuzuordnen. Für einfache geometrische Objekte wie Strecken,Vielecke,Quader und ähnliches stimmt ihr Wert mit dem des gewöhnlichen Dimensionsbegriffes überein. Im Allgemeinen ist ihr Zahlenwert jedoch nicht unbedingt eine natürliche Zahl, sondern kann auch eine rationale oder eine irrationale Zahl sein.

Definition über das Hausdorff-Maß 

Eine mathematisch exakte Definition der Hausdorff-Dimension einer beschränkten Teilmenge  erfolgt über dasHausdorff-Maß H^s, das dieser Menge zu jeder Dimension  zugeordnet wird. Danach ist die Hausdorff-Dimension von X definiert als das Infimum aller s, für die H^s(X) = 0 ist, oder äquivalent dazu als das Supremum aller s, für die  gilt, das heißt

Für festes s haben also Mengen, deren Hausdorff-Dimension kleiner als s ist, das s-dimensionale Maß null, während Mengen größerer Dimension unendliches s-dimensionales Maß haben. Das entspricht der Tatsache, dass beispielsweise eine Strecke als Teilmenge der Ebene Lebesgue-Maß Null hat.

Zur Definition des Hausdorff-Maßes betrachte man die Größe

für beliebige  und , wobei (A_i) alle Überdeckungen von X durch abzählbar viele Mengen  durchläuft, deren jeweilige Durchmesser d(A_i) kleiner als  sind. Das s-dimensionale Hausdorff-Maß von X ist nun definiert als

Beispiel

Die Bestimmung der Hausdorff-Dimension einer eindimensionalen Strecke anhand der Menge  erfolgt folgendermaßen:

1. Das Hausdorff-Maß für s > 1:

Für  sei die natürliche Zahl  so gewählt, dass  gilt. Mit der speziellen Überdeckung

 für , A_i = {1} für 

folgt

also

H^s(X) = 0.

2. Das Hausdorff-Maß für s < 1:

Wegen  ist

Da die A_i das Einheitsintervall X überdecken, ist die Summe ihrer Durchmesser mindestens 1:

Damit folgt

also

3. Das Hausdorff-Maß für s = 1:

Setzt man die beiden Argumente aus dem ersten und zweiten Fall zusammen, dann erhält man H¹(X) = 1.

Es ist also .

Dedekind

Julius Wilhelm Richard Dedekind (6. Oktober 1831 in Braunschweig; 12. Februar 1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.Dedekind führte den Begriff Zahlkörper ein und  war einer des wesentlichen Wegbereiter der modernen strukturellen Auffassung der Algebra und algebraischen Zahlentheorie, die er von Grund auf erneuerte. Dedekind überwand seine Schwierigkeiten in der Theorie der algebraischen Zahlen, indem er zum Unendlichen Zuflucht suchte; Kronecker suchte seine Schwierigkeiten im Bereich des Endlichen zu lösen.

Dedekinds Begründung der Theorie der rellen Zahlen erscheint 1872 und definiert exakt den Aufbau aus den rationalen Zahlen.

Zitate.

Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlenwissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlenreich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlenreich beziehen.

Felix Klein

Felix Christian Klein (* 25. April 1849 in Düsseldorf; † 22. Juni 1925 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.
Felix Klein hat im 19. Jahrhundert bedeutende Ergebnisse in der Geometrie erzielt. Daneben hat er sich um die Anwendung der Mathematik und die Lehre verdient gemacht. Klein, der auch ein bedeutender Wissenschaftsorganisator war, hat wesentlich mit dafür gesorgt, dass Göttingen zu einem Zentrum der Mathematik aufgestiegen ist.



Werke (Auswahl)
Felix Klein: Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus.
Bd. 1: Arithmetik, Algebra, Analysis.
Bd. 2: Geometrie. Vorlesung gehalten im Sommersemester 1908
Bd. 3: Präzisions- und Approximationsmathematik
Erschienen in: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Bd. 14 bis 16
Teubner Verlag Leipzig (1908/09 Nachdruck mit Zusätzen 1911/13)

Felix Klein, Das Erlanger Programm : Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen
Verlag Harry Deutsch, Frankfurt/ Main 1995, veröffentlicht 1871

Klein/Riecke: Über angewandte Mathematik und Physik in ihrer Bedeutung für den Unterricht an den höheren Schulen.
Leipzig und Berlin 1900

Klein, Riecke: Neue Beiträge zur Frage des mathematischen und physikalischen Unterrichts an den höheren Schulen
Vorträge gehalten Ostern 1904 in Göttingen, veröffentlicht Leipzig und Berlin, 1904

Klein/Schimmack: Der mathematische Unterricht an den höheren Schulen.
Leipzig 1907

Felix Klein: Gesammelte mathematische Abhandlungen. 3 Bände
Bd. 1: Liniengeometrie. Grundlegung der Geometrie. Zum Erlanger Programm
Bd. 2: Anschauliche Geometrie. Substitutionsgruppen und Gleichungstheorie. Zur mathematischen Physik
Bd. 3: Elliptische Funktionen, insbesondere Modulfunktionen. Hyperelliptische und Abelsche Funktionen. Riemannsche Funktionentheorie und automorphe Funktionen.
Erstausgabe Berlin 1921/22/23. Hrsg. v. Fricke, Ostrowski & Vermeil
Springer Verlag, Berlin 1923

Felix Klein: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade, herausgegeben von Peter Slodowy
Birkhäuser Verlag Basel, 1993 (Nachdruck der Ausgabe von 1884)

Felix Klein: Einleitung in die analytische Mechanik
Teubner, Stuttgart 1991

Felix Klein: Vorlesung über die moderne Entwicklung des mathematischen Unterrichts 1910/11
Vieweg, Wiesbaden 1996

Felix Klein:: Über die elliptischen Normalcurven der n-ten Ordnung und zugehörige Modulfunctionen der n-ten Stufe.
Hirzel, Leipzig 1885

Felix Klein: Die Anforderungen der Ingenieure und die Ausbildung der mathematischen Lehramtskandidaten
in: Zeitschrift für den mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht Nr. 27, 1896

Felix Klein: Ausgewählte Kapitel der Zahlentheorie. Vorlesungen, gehalten im Wintersemester 1895/96 und Sommersemester 1896. Ausgearbeitet von A. Sommerfeld und Ph. Furtwängler.
Leipzig, 1907

Felix Klein. Madeleine Semer. 1874-1921.
Matthias Grünewald Verlag, Mainz 1929

Felix Klein: Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Eine Ergänzung der gewöhnlichen Darstellungen.
Teubner, Leipzig 1882

Felix Klein: Über die Differentialgesetze für die Erhaltung von Impuls und Energie in der Einsteinschen Gravitationstheorie (aus: 'Nachrichten von der K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen).
Göttingen, 1918

Felix Klein: Über die Integralform der Erhaltungssätze und die Theorie der räumlich - geschlossenen Welt. ( aus: 'Nachrichten von der K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen).
Göttingen, 1918

Felix Klein: Vorlesungen über höhere Geometrie. Bearbeitet und herausgegeben von W. Blaschke.
(GMW, Bd. 22)Springer, Berlin, (3. Aufl.) 1926

Felix Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. 2 Bde.
(GMW, Bde. 24 u. 25) Springer, Berlin, 1926-1927

Felix Klein: Vorlesungen über nicht - euklidische Geometrie. Neu bearbeitet von W. Rosemann.
(GMW, Bd.26) Springer, Berlin, 1928

Felix Klein: Über Lame'sche Functionen.
Ueber Körper, welche von confocalen Flächen zweiten Grades begränzt sind.
Ueber hyperelliptische Sigmafunctionen.
Ueber den Hermite'schen Fall der Lame'schen Differentialgleichung.
Ueber Realitätsverhältnisse bei der bei einem beliebigen Geschlechte zugehörigen Normalcurve der phi.
Ueber Riemann'sche Flächen, Doppelvorles.1891-92;
Leipzig, 1881 - 1894

Felix Klein & R.Fricke: Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen I und II
Teubner Stuttgart, 1966 (Reprint von 1890/92)

Felix Klein & Adolf Harnack: Universität und Schule. Vorträge auf der Versammlung deutscher Philologen und Schulmänner am 25 Sep 1907 in Basel Leipzig: Teubner 1907.

Felix Klein: : Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion gehalten an der Universität Göttingen im Wintersemester 1893 / 94.
(GMW Bd. 39) Springer, Berlin 1933

Felix Klein: 62. Einleitung in die analytische Mechanik. Vorlesung, gehalten in Göttingen 1886/87. Hrsg. v. E. Dietzel u. M. Geisler.
Teubner Stuttgart 1991. (Teubner-Archiv zur Mathematik; Bd.15)

Felix Klein und Arnold Sommerfeld: Über die Theorie des Kreisels
1897 - 1910

Herausgegeben von Felix Klein

Felix Klein: (Hrsg.): Gauß' wissenschaftliches Tagebuch. Mit Anmerkungen
Teubner Leipzig, 1902

August Ferd. Möbius: Gesammelte Werke. 4 Bde. Hrsg. v. R. Baltzer und Felix Klein.
Nachdruck d. A. Leipzig 1885-87. Vaduz (ca. 1980).


Korrespondenz


David Hilbert, Felix Klein: Der Briefwechsel David Hilbert / Felix Klein (1886-1918)
Vandenhoek u. Ruprecht, Göttingen 1997

Tobies, Renate; Rowe, D.E. (Pleasentville, N.Y., USA): Korrespondenz Felix Klein - Adolph Mayer. Auswahl aus den Jahren 1871 bis 1907.

TEUBNER-ARCHIV zur Mathematik, Bd. 14. Leipzig: B.G. Teubner 1990. (235 S.)
Hentschel, Klaus (Göttingen); Tobies, Renate: Brieftagebuch zwischen Max Planck, Carl Runge, Bernhard Karsten und Adolf Leopold. Eingeleitet, annotiert und mit den Promotions- und Habilitationsakten Max Plancks und Carl Runges im Anhang (Berliner Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaften und der Technik, Bd. 24), Berlin: ERS-Verlag 1999. (273 S., 10 Abb.)

Biografien

Felix Klein: Göttinger Professoren. Lebensbilder von eigener Hand.
Mitteilungen des Universitätsbundes Göttingen. 5. Jahrg. H.1 1923
Tobies, Renate unter Mitwirkung von Fritz König: Felix Klein. Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner.
Bd. 50. Leipzig: B. G. Teubner 1981. (104 S.)

Frauen in der Mathematik

Tobies, Renate: Mathematikerinnen und ihre Doktorväter In: "Aller Männerkultur zum Trotz": Frauen in Mathematik und Naturwissenschaften. Hrsg. von Renate Tobies
Frankfurt a.M. und New York: Campus Verlag 1997. (288 S., 13 Abb.)

Tobies, Renate: Elisabeth Staiger, geborene Klein. In: "Des Kennenlernens werth" - Bedeutende Frauen Göttingens. Hrsg. von Traudel Weber-Reich.
Göttingen: Wallstein Verlag, 1993 S. 248-260.

Sekundärliteratur

Tobies, Renate; Klaus Volkert (Heidelberg): Mathematik auf den Versammlungen der Gesellschaft deutscher Naturforscher und Ärzte, 1843-1890 (Schriftenreihe zur Geschichte der Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte, Bd. 7, hrsg. v. Michael Eckart, Heidelberg, und Dietrich von Engelhardt, Lübeck),
Stuttgart: Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft mbH 1998. (268 S., 28 Abb.)

Inhetveen, Heide: Die Reform des gymnasialen Mathematikunterrichts zwischen 1890 und 1914
Verlag Julius Klinkhardt Bad Heilbrunn, 1976

Manegold, K. H.:Felix Klein als Wissenschaftsorganisator. Ein Beitrag zum Verhältnis von Naturwissenschaften und Technik im 19. Jahrhundert
in: Technikgeschichte Bd. 35 Nr. 3 hrsg.vom Verein Deutscher Ingenieure, 1968

Timmerding: Felix Klein und die Reform des mathematischen Unterrichts
Die Naturwissenschaften Heft 17 (1919)

Lorey, Wilhelm: Felix Kleins Persönlichkeit und seine Bedeutung für den mathematischen Unterricht
In: Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft, 25 Jg. (1926)

Hamel, G.: Felix Klein als Mathematiker
In: Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft, 25 Jg. (1926)

Prandtl, Ludwig: Klein und die angewandten Wissenschaften
Sitzungsberichte der Berliner mathematischen Gesellschaft Bd XXII (1926)

Courant, Richard: Felix Klein als wissenschaftlicher Führer
Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften Göttingen (1926)

Sommerfeld, Arnold: Zum hundertsten Geburtstag von Felix Klein
Die Naturwissenschaften Heft 10 (1949)

Schoenflies, Arthur: F. Klein und die nichteuklidsche Geometrie
Die Naturwissenschaften Heft 7(1919)

Lietzmann, Walther: Aus meinen Lebenserinnerungen
Göttingen 1960

Seidel, Hans: Felix Kleins Bedeutung für Wissenschaft und Unterricht
Vortrag im Rahmen der Feierstunde am Felix- Klein- Gymnasium zum 50. Todestag am 22.Juni 1975
Göttinger Jahrbuch 1975

Max-Planck-Gesellschaft für Strömungsforschung Göttingen 1925-1975
Göttingen 1975

Gutzmer, August: Bericht betreffend den Unterricht in der Mathematik an den neunklassigen höheren Lehranstalten- Reformvorschläge von Meran
1905 Abdruck in MU 1980 Heft 6
Nachmann/Schmidt: Die große Ära der Wissenschaft in Deutschland 1900 -1933
Stuttgart 1988

Rotta: Die Aerodynamische Versuchsanstalt in Göttingen, ein Werk Ludwig Prandtls
Göttingen, 1990

Popplow, Ulrich: Felix Klein - Lebensweg und Persönlichkeit
Vortrag im Rahmen der Feierstunde am Felix- Klein- Gymnasium zum 50. Todestag am 22.Juni 1975
Göttinger Jahrbuch 1975

Spangenberg, Arno: Felix Klein - Ein Wegbereiter für modernen Mathematikunterricht
Festschrift zum 100-jährigen Jubiläum des Felix-Klein - Gymnasiums,
Göttingen 1990

Säckl: Felix Klein - Grenzüberschreitungen als Prinzip
MU 1993 Heft 6

Schubring, G.: Die Verschiebung der "Grenzen - Konflikte zwischen Schulen und Hochschulen in Entwicklung des Übergangs
MU 1996 Heft 4/5

Kahle: Zur Rolle des Erlanger Programms im Geometrieunterricht
Mathematische Semesterberichte 1996 (1-20)

Kneser, Hellmuth: 21 Separata 1930 - 1969. Die kanonische Parametergruppe. - Felix Klein als Mathematiker, et al.
Kneser, Hellmuth: 9 Separata 1939 - 1969. Majorante bei einem Existenzsatz über partielle Differentialgleichungen. - Felix Klein zu seinem 100. Geburtstag, et al.
Artikel von Dr. habil. Renate Tobies

1979

Zur internationalen wissenschaftsorganisatorischen Tätigkeit von Felix Klein (1849-1925) auf dem Gebiet des Mathematikunterrichts,
in: NTM-Schriftenreihe für Geschichte der Naturwissenschaften, Technik und Medizin (Leipzig), 16 (1979) 1, S. 12-29.
Zur wissenschaftsorganisatorischen Tätigkeit von Felix Klein im Rahmen der Breslauer Unterrichtskommission,
in: NTM, 16 (1979) 2, S. 50-63.
1986

Zur Geschichte deutscher mathematischer Gesellschaften,
in: Mitteilungen der Math. Gesell. (Berlin), (1986) 2/3, S. 112-134.

Zu Veränderungen im deutschen mathematischen Zeitschriftenwesen um die Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert (Teil I) - Briefe, Briefentwürfe, Notizen,
in: NTM, 23 (1986) 2, S. 19-33.
1987

Zu Veränderungen im deutschen mathematischen Zeitschriftenwesen um die Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert (Teil II) - Einordnung, unter besonderer Berücksichtigung der Aktivitäten Felix Kleins,
in: NTM, 24 (1987) 1, S. 31-49.

Zur Berufungspolitik Felix Kleins. - Grundsätzliche Ansichten,
in: NTM, 24 (1987) 2, S. 43-52.

mit Meyer, Heiner: Zu einigen erkenntnistheoretischen Positionen von Felix Klein,
in: Mitteilungen der Math. Gesell. (Berlin), (1987) 3, S. 56-75.
1988

Felix Klein und die Anwendungen der Mathematik,
in: Wissenschaftliche Zeitschrift der Friedrich-Schiller- Universität, Jena, Naturwiss. Reihe, 37 (1988) 2, S. 259-270.

Zu den Bestrebungen von August Gutzmer, die Anwendungen der Mathematik zu fördern,
in: ALMA MATER JENENSIS, Studien zur Hochschul- und Wissenschaftsgeschichte, H. 5, Friedrich-Schiller-Universität, Jena 1988, S. 31-50.

mit Pieper, Herbert: Zum Verhältnis deutscher Mathematiker des 19. Jahrhunderts zur Geschichte ihrer Wissenschaft,
in: Mitteilungen der Math. Gesell. (Berlin), (1988) , S. 55-71.
1989

Felix Klein als Mitglied des preußischen "Herrenhauses". Wissenschaftlicher Mathematikunterricht für alle Schüler - auch für Mädchen und Frauen,
in: Der Mathematikunterricht (Erhard Friedrich Verlag GmbH & Co. KG, Seelze),35 (1989) 1, S. 4-12.

On the Contribution of Mathematical Societies to Promoting Applications of Mathematics in Germany,
in: Rowe, D.E.; McCleary, J. (Ed.): The History of Modern Mathematics. Vol II: Institutions and Applications. Boston, San Diego, New York...: Academic Press, 1989, p. 223-248.

1990

Zum Verhältnis von Felix Klein und Friedrich Althoff. In: Friedrich Althoff 1839 - 1908, Beiträge zum 58. Berliner Wissenschaftshistorischen Kolloquium, Kolloquien Heft 74, Akademie der Wissenschaften der DDR, Berlin 1990, S. 35 - 56.

Ludwig Berwald, Jost Bürgi, Alfred Clebsch, Walther Dyck, Johannes Faulhaber, Georg Feigl, Philipp Furtwängler, J. von Gmunden, Gustav Adolph Göpel, Siegmund Günther, August Gutzmer, Hans Ludwig Hamburger, Georg Hamel, Lothar Heffter, Gerhard Hessenberg, Eugen Jahnke, Th. von Kármán, Felix Klein, Gerhard Kowalewski, Jakob Lüroth, Georg Peuerbach, Georg Pick, Ludwig Prandtl, Hans Rademacher, Regiomontanus, Kurt Reidemeister, Karl Rohn, Ludwig Schlesinger, Werner Schmeidler, Paul Stäckel, Wilhelm Süss, Gabor Szegö, Albert Wangerin, Julius Weingarten, in: S. Gottwald, H.-J.Ilgauds, K.-H. Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker, Leipzig: Bibliographisches Institut, 1990.

Zur Stellung der angewandten Mathematik an der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert - allgemein und am Beispiel der Versicherungsmathematik,
in: PANEM & CIRCENSES (Mitteilungsblatt des Fördervereins für Mathematische Statistik und Versicherungsmathematik, Göttingen), Beilage zu Heft 2, 1990, S. 1 - 11.
1991

Warum wurde die Deutsche Mathematiker-Vereinigung innerhalb der Gesellschaft deutscher Naturforscher und Ärzte gegründet? Mathematiker-Briefe zur Gründungsgeschichte der DMV,
in: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 93 (1991) S. 30 - 47.

Wissenschaftliche Schwerpunktbildung: der Ausbau Göttingens zum Zentrum der Mathematik und Naturwissenschaften.
in: vom Brocke, B. (Hrsg.), Wissenschaftsgeschichte und Wissenschaftspolitik im Industriezeitalter. Das "System Althoff" in historischer Perspektive. Edition Bildung und Wissenschaft. Hildesheim: Lax, 1991, S. 87 - 108.
1992

Felix Klein in Erlangen und München: ein Beitrag zur Biographie.
In: Amphora. Festschrift für Hans Wußing zu seinem 65. Geburtstag. Hrsg. v. S. S. Demidov, Menso Folkerts, David E. Rowe, Christoph J. Scriba, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser Verlag, 1992, S. 751-772.

Beiträge: Felix Klein, Regiomontanus, Alfred Clebsch.
In: ABC Forscher und Erfinder. Verlag Harry Deutsch, 1992.
1994

Albert Einstein und Felix Klein.
In: Naturwissenschaftliche Rundschau, 47 (1994) H. 9, S. 345-352.

Mathematik als Bestandteil der Kultur - Zur Geschichte des Unternehmens "Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen".
In: Mitteilungen der Österreichischen Gesellschaft für Wissenschaftsgeschichte, 14 (1994) S. 1-90.
1999

Felix Klein (1849 bis 1925) zum 150. Geburtstag (Reihe: Bedeutende Mathematiker),
in: Mathematik in der Schule, 37 (1999) 2, S. 98-101.

Der Blick Felix Kleins auf die Naturwissenschaften. Aus der Habilitationsakte,
in: NTM-Internationale Zeitschrift für Geschichte und Ethik der Naturwissenschaften, Technik und Medizin, N.S. 7 (1999) H.2, S. 83-92.

Mathematik als Programm. Zum 150. Geburtstag von Felix Klein,
in: Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (1999) 2, S. 15-21.

Felix Klein und David Hilbert als Förderer von Frauen in der Mathematik,
in: Acta Historiae rerum naturalium necnon technicarum / Prague Studies in the History of Science and Technology, N.S. Vol. 3 (1999) S. 69-101.