Mathematik, Geschichte und deutsche Mathematiker: Die Hausdorff-Dimension

Die Hausdorff-Dimension wurde von Felix Hausdorf eingeführt und bietet die Möglichkeit, beliebigen metrischen Räumen, wie beispielsweise Fraktalen, eine Dimension zuzuordnen. Für einfache geometrische Objekte wie Strecken,Vielecke,Quader und ähnliches stimmt ihr Wert mit dem des gewöhnlichen Dimensionsbegriffes überein. Im Allgemeinen ist ihr Zahlenwert jedoch nicht unbedingt eine natürliche Zahl, sondern kann auch eine rationale oder eine irrationale Zahl sein.

Definition über das Hausdorff-Maß

Eine mathematisch exakte Definition der Hausdorff-Dimension $\dim X$ einer beschränkten Teilmenge $X\subset\mathbb R^n$ erfolgt über dasHausdorff-Maß

H s

, das dieser Menge zu jeder Dimension $s\geq0$ zugeordnet wird. Danach ist die Hausdorff-Dimension von

X

definiert als das Infimum aller

s

, für die

H s (X) = 0

ist, oder äquivalent dazu als das Supremum aller

s

, für die $H^s(X)=\infty$ gilt, das heißt

$\dim X=\inf\{s\mid H^s(X)=0\}=\sup\{s\mid H^s(X)=\infty\}.$

Für festes

s

haben also Mengen, deren Hausdorff-Dimension kleiner als

s

ist, das

s

-dimensionale Maß null, während Mengen größerer Dimension unendliches

s

-dimensionales Maß haben. Das entspricht der Tatsache, dass beispielsweise eine Strecke als Teilmenge der Ebene Lebesgue-Maß Null hat.

Zur Definition des Hausdorff-Maßes betrachte man die Größe

$H^s_\varepsilon(X)=\inf\Big\{\sum_{i=1}^\infty d(A_i)^s\Big|X\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty A_i;\; d(A_i)<\varepsilon\Big\}$

für beliebige $s\geq0$ und $\varepsilon>0$ , wobei

(A i)

alle Überdeckungen von

X

durch abzählbar viele Mengen $A_1,A_2,\ldots$ durchläuft, deren jeweilige Durchmesser

d (A i)

kleiner als $\varepsilon$ sind. Das

s

-dimensionale Hausdorff-Maß von

X

ist nun definiert als

$H^s(X)=\lim_{\varepsilon\to0}H^s_\varepsilon(X).$

Beispiel

Die Bestimmung der Hausdorff-Dimension einer eindimensionalen Strecke anhand der Menge $X=[0,1]\subset\mathbb R$ erfolgt folgendermaßen:

1. Das Hausdorff-Maß für

s > 1

Für $\varepsilon>0$ sei die natürliche Zahl $N_\varepsilon$ so gewählt, dass $1/N_\varepsilon<\varepsilon$ gilt. Mit der speziellen Überdeckung

$A_i=\left[\frac{i-1}{N_\varepsilon},\frac i{N_\varepsilon}\right]$ für $1\leq i\leq N_\varepsilon$ ,

A i = {1}

für $i>N_\varepsilon$

folgt

$H^s_\varepsilon(X)\leq N_\varepsilon\cdot\left(\frac1{N_\varepsilon}\right)^s=\left(\frac1{N_\varepsilon}\right)^{s-1}<\varepsilon^{s-1},$

also

H s (X) = 0.

2. Das Hausdorff-Maß für

s < 1

Wegen $d(A_i)<\varepsilon$ ist

$\sum d(A_i)^s = \sum \frac{d(A_i)}{d(A_i)^{1-s}} > \sum \frac{d(A_i)}{\varepsilon^{1-s}}.$

Da die

A i

das Einheitsintervall

X

überdecken, ist die Summe ihrer Durchmesser mindestens 1:

${}\geq\frac1{\varepsilon^{1-s}}.$

Damit folgt

$H^s_\varepsilon(X)\geq\frac1{\varepsilon^{1-s}},$

also

$H^s(X)=\infty.$

3. Das Hausdorff-Maß für

s = 1

Setzt man die beiden Argumente aus dem ersten und zweiten Fall zusammen, dann erhält man

H 1 (X) = 1.

Es ist also $\dim X=1$ .

Mathematik, Geschichte und deutsche Mathematiker

Montag, 20. Dezember 2010

Die Hausdorff-Dimension

Definition über das Hausdorff-Maß

Beispiel

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